题目内容
【题目】如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．） 当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x． 
（1）当x=3时，线段PQ的长为 ．
（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．
（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）2
（2）解：设x秒后P，Q第一次重合，得：x+3x=10
解得：x=2.5，
∴BQ=3x=7.5
（3）解：设x秒后，点Q恰好落在线段AP的中点上，根据题意，
①当点Q从点B出发未到点A时，即0＜x＜ 
时，有
x=2（10﹣3x），
解得 
；
②当点Q到达点A后，从A到B时，即 ＜x＜ 
时，有
x=2（3x﹣10），
解得 x=4；
③当点Q第一次返回到B后，从B到A时，即 ＜x＜10时，有
x=2（30﹣3x），
解得 
；
综上所述：当x= 
或x=4或x= 
时，点Q恰好落在线段AP的中点上
【解析】解：（1）根据题意，当x=3时，P、Q位置如下图所示： 
此时：AP=3，BQ=3×3=9，AQ=AB﹣BQ=10﹣9=1，
∴PQ=AP﹣AQ=2；
（1）结合图形，表示出AP、AQ的长，可得PQ；（2）当P，Q两点第一次重合时，点P运动路程+点Q运动路程=AB的长，列方程可求得；（3）点Q落在线段AP的中点上有以下三种情况：①点Q从点B出发未到点A；②点Q到达点A后，从A到B；③点Q第一次返回到B后，从B到A，根据AP=2AQ列方程可得．
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