Question

如图，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。（0º＜α＜90º）得到△A₁B₁C₁，连结BB₁.设CB₁交AB于D，A₁B₁分别交AB、AC于E、F。

（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A₁B₁C₁全等除外）；
（2）当△BB₁D是等腰三角形时，求α；
（3）当α＝60º时，求BD的长。

Answer 1

解：（1）全等的三角形有：
等。（只需写一个即可）
以证为例：
证明：

     
（2）在△CBB₁中，∵CB=CB₁，
又△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°      
①若，则∠B₁DB=∠B₁BD，∵∠B₁DB=45°+α

（舍去）
②，即BD≠B₁D     
③若BB₁=BD，则，即  
由①②③可知，当△BB₁D为等腰三角形时，α=30°      
（3）作DG⊥BC于G，设CG=x
在Rt△CDG中，
在Rt△DGB中，
       
   

解析