Question

如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为3，点E是DC边上一点且DE=

1

3

DC，把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接AG．有以下四个结论  ①∠GAE=45°   ②BG+DE=GE  ③点G是BC的中点  ④S_△ECG=

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2

（1）其中正确的结论序号是

①②③④

．
（2）请选一个你认为正确的结论进行说理论证．

Answer 1

分析：根据正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG，可得∠BAG=∠FAG，由折叠易得∠DAE=∠FAE，再证∠BAG=∠FAG可得∠GAE=45°；由折叠可知DE=EF，由全等可知GB=GF，进而得到BG+DE=GE；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；由于S_△EGC=

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2

×EC×GC，EC、GC的长可通过在直角△ECG中用勾股定理算出，求得面积比较即可．

解答：解：（1）①由折叠易得∠DAE=∠FAE，AD=AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=AF，
又有AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠BAD=90°，
∴∠GAE=45°；
②∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴GB=GF，
∵DE=EF，
∴BG+DE=GF+EF=GE；
③∵DE=

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3

DC，CD=3，
∴EC=2，DE=1，
∴EF=1，
设CG=x，则BG=GF=3-x，GE=3-x+1=2-x，
∵EC²+GC²=EG²，
∴2²+x²=（2-x）²，
解得：x=1.5，
∴G是BC的中点；
④S_△ECG=

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×CG×EC=

1

2

×

3

2

×2=

3

2

，
故其中正确的序号是①②③④；
（2）如（1）中的推理过程．

点评：此题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，图形的折叠及一元二次方程，关键是掌握折叠后，哪些边是相等的，哪些角是相等的，证出Rt△ABG≌Rt△AFG．