Question

如图，已知：在⊙O中，直径AB=4,点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB,点F是弧BC上一点，连结AF交CE于H,连结AC、CF、BD、OD。

（1）求证：⊿ACH∽⊿AFC；

（2）猜想：AH·AF与AE·AB的数量关系，并证明你的猜想；

（3）探究：当点E位于何处时，S_⊿AEC:S_⊿BOD=1：4？并加以说明。

 

Answer 1

（1）证明：∵直径AB⊥CD     ∴

∴ ∠F=∠ACH ,    又∠CAF=∠FAC

∴ ⊿ACH∽⊿AFC；

(2)答：AH·AF=AE·AB

连结FB

∵AB是直径    ∴ ∠AFB=∠AEH=90⁰

又 ∠EAH=∠FAB

∴Rt⊿AEH∽Rt⊿AFB

∴    ∴AH·AF=AE·AB

(3)当OE=(或AE=)时，S_⊿AEC:S_⊿BOD=1：4

∵直径AB⊥CD,    ∴CE=ED

∵ S_⊿AEC=AE·EC       S⊿BOD=OB·ED     ∴

∵⊙O的半径为2，∴