Question

根据题意，解答下列问题：

（1）如图①，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（-2，-1）之间的距离；
（3）如图③，P₁（x₁，y₁），P₂（x₁，y₂）是平面直角坐标系内的两点．求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直线y=2x+4与x轴、y轴交点的特点：与x轴相交时，y=0，求得x的值；与y轴相交时，x=0，求得y的值；
（2）、（3）通过构造直角三角形的方法，解得MN与P₁P₂的值．
解答：（1）解：由y=0，得x=-2，所以点A的坐标为（-2，0），故OA=2．（1分）
同理可得OB=4． （2分）
所以在Rt△AOB中，AB=；（3分）

（2）解：作MP⊥x轴，NP⊥y轴，MP交NP于点P．（4分）
则MP⊥NP，P点坐标为（3，-1）．（5分）
故PM=4-（-1）=5，PN=3-（-2）=5．（6分）
所以在Rt△MPN中，MN=；（7分）
（注：若直接运用了（3）的结论不得分．）

（3）证明：作P₂P⊥x轴，P₁P⊥y轴，P₂P交P₁P于点P．
则P₂P⊥P₁P，点P的坐标为（x₂，y₁）．（8分）
故P₂P=y₂-y₁，P₁P=x₂-x₁．（不加绝对值符号此处不扣分）（9分）
所以在Rt△P₂P₁P中，．（10分
点评：本题主要考查一次函数图象与X轴、Y轴交点的特点与解直角三角形，同时考查了数形结合思想，综合性很强，值得学生去思考．