题目内容

根据题意，解答下列问题：
（1）如图1，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）公式推导：类比（1）的求解过程，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是平面直角坐标系内的两点，如图2，请你通过构造直角三角形的方法推导公式P₁P₂= $数学公式$ ；
（3）公式应用：已知：如图3，A（6，1），B（2，4），问：是否在x轴、y轴上分别存在P、Q两点，使得四边形ABQP的周长最短？若存在，求出四边形ABQP的周长；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点
∴A点坐标为（-2，0）B点坐标为（0，4）
∴AB的长为 $\text{[math]}$ ；

（2）如图过P₁、P₂分别作两轴的平行线，交于点A，
则P₁A=x₂-x₁，P₂A=y₂-y₁
∴P₁P₂= $\text{[math]}$ ；

（3）由（2）中得AB= $\text{[math]}$ =5
设P、Q两点的坐标为（x，0），（0，y）
则AP= $\text{[math]}$ PQ= $\text{[math]}$ BQ= $\text{[math]}$
周长为AP+PQ+BQ+AB
要使周长最小，则AP+PQ+BQ应该最小
由公式x²+y²≥2xy，当且仅当x=y时满足
类推得x²+y²+z²≥xy+xz+yz当且仅当x=y=z时取等号
∴当AP=PQ=BQ时取得最小值
计算得最小值为 $\text{[math]}$ ．
分析：根据勾股定理，知道两边的坐标求出两边的长，继而可以轻松求出第三边的长度．利用x+y≥ $\text{[math]}$ 得当两项相等时相加最小，类推出当AP=PQ=BQ时取得最小值，利用（2）中所得的公式可以求出．
点评：①求边长可以有很多种求法，其中利用直角三角形是常用的一种，勾股定理或三角函数等．
②合理利用不等式的关系求解．