Question

已知如图，矩形OABC的长OA=

3

，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）填空：∠PCB=

 

度，P点坐标为

 

；
（2）若P，A两点在抛物线y=-

4

3

x²+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角△OAC中，根据三角函数就可以求出∠CAO的度数，以及∠OCA的度数．而∠PCA=∠OCA∠BCA=∠CAO，则：∠PCB就可以求出．在直角△PCG中，根据三角函数可以求得CG，PG的长，从而得到P的坐标．
（2）P、A两点的坐标容易得到，根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．求出b，c的值．C点的坐标已知，代入函数的解析式，就可以判断是否在函数的图象上．
（3）过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G，根据S_△CMP=s_△CME+S_△PME，四边形MCAP的面积就可以表示成OF的函数，利用函数的性质，就可以求出最值．

解答：解：（1）30，（

3

2

，

3

2

）

（2）∵点P（

3

2

，

3

2

），A（

3

，0）在抛物线上，
∴

- 4 3 × 3 4 +b× 3 2 +c= 3 2 - 4 3 ×3+b× 3 +c=0

∴

b= 3 c=1

∴抛物线的解析式为y=-

4

3

x²+

3

x+1
C点坐标为（0，1）
∵-

4

3

×0²+

3

×0+1=1
∴C点在此抛物线上．

（3）假设存在这样的点M，使得四边形MCAP的面积最大．
∵△ACP面积为定值，
∴要使四边形MCAP的面积最大，只需使△PCM的面积最大．
过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G．
S_△CMP=s_△CME+S_△PME=

1

2

ME•CG=

3

4

ME
设M（x₀，y₀），
∵∠ECN=30°，CN=x₀，
∴EN=

3

3

x₀
∴ME=MF-EF=-

4

3

x₀²+

2 3

3

x₀
∴S_△CMP=-

3

3

x₀²+

1

2

x
∵a=-

3

3

＜0，
∴S有最大值．
当x₀=

3

4

时，S的最大值是

3

16

，
∵S_{四边形MCAP}=s_△CPM+S_△ACP
∴四边形MCAP的面积的最大值为

9 3

16

此时M点的坐标为（

3

4

，

3

2

）
所以存在这样的点M（

3

4

，

3

2

），使得四边形MCAP的面积最大，其最大值为

9 3

16

．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，最值问题基本的解决思路是转化为函数问题．