Question

将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是

3

7

．

Answer 1

分析：连接CA、CD，根据翻折的性质可得弧CD所对的圆周角是∠CBD，再根据AC弧所得的圆周角也是∠CBA，然后求出AC=CD，过点C作CE⊥AB于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=

1

2

AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后求出△ACE和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE²，再求出BE，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC．

解答：解：如图，连接CA、CD，
根据折叠的性质，

CD

所对的圆周角是∠CBD，
∵

AC

所对的圆周角是∠CBA，∠CBA=∠CBD，
∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等），
过点C作CE⊥AB于E，
则AE=ED=

1

2

AD=

1

2

×4=2，
∴BE=BD+DE=5+2=7，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
易求△ACE∽△CBE，
∴

AE

CE

=

CE

BE

，
即CE²=AE•BE=2×7=14，
在Rt△BCE中，BC=

CE2+BE2

=

14+72

=3

7

．
故答案为：3

7

．

点评：本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD是解题的关键．