Question

已知y是x的二次函数，且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位，当x=3时，y取得最小值-2．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若此函数图象上有一点P，使△PAB的面积等于12个平方单位，求P点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的对称轴为x=3，以及AB=4，可求得A、B的坐标，然后根据其顶点坐标用顶点式二次函数通式设抛物线的解析式，然后将A或B点的坐标代入抛物线中即可求得二次函数的解析式．
（2）已知了AB的长，可根据三角形的面积求得P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求得P点的坐标．

解答：解：（1）∵当x=3时y取得最小值-2．
即抛物线顶点为（3，-2），对称轴为直线x=3，
∴设二次函数解析式为y=a（x-3）²-2．
又∵图象在x轴上截得线段AB的长是4，
∴图象与x轴交于（1，0）和（5，0）两点．
∴a（1-3）²-2=0，
∴a=

1

2

，
∴所求二次函数解析式为y=

1

2

x²-3x+

5

2

．

（2）∵△PAB的面积为12个平方单位，|AB|=4．
∴

1

2

×4×|Py|=12，
∴|Py|=6，
∴Py=±6．
但抛物线开口向上，函数值最小为-2，
∴Py=-6应舍去，
∴Py=6又点P在抛物线上，
∴6=

1

2

x²-3x+

5

2

，
解得，x₁=-1，x₂=7．
即点P的坐标为（-1，6）或（7，6）．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法等知识点．