Question

【题目】若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（ ）
A.菱形
B.对角线相互垂直的四边形
C.正方形
D.对角线相等的四边形

Answer 1

【答案】B
【解析】解：已知：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．

证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；

∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，

∴AC⊥BD；故答案为：B．

题目中并没有给出图，画图证明进行对题意的分析。
如图所示，四边形EFGH是矩形，矩形的性质1矩形的四个角都是直角，所以EF⊥FG，再根据中位线的定义和定理：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（定义），三角形的中位线平行第三边（性质），得结论EF∥AC∥HG，结合EF⊥FG，根据两直线平行，第三条直线垂直于其中一条平行线，那么第三条直线垂直于这两条平行线，所以AC⊥FG，同理EH∥FG∥BD，所以AC⊥BD。