题目内容

【题目】如图,RtABC中,C=90°,O为AB上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆,交BC边于点D,与AC边相切于点E.

(1)求证:BE平分ABC

(2)若CD:BD=1:2,AC=4,求CD的长.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)由切线的性质可知OEAC,从而可证明OEBC,由平行线的性质可知OEB=EBC,由OE=OB可知OEB=OBE,于是得到OBE=EBC

(2)过O作OFBC于点F,连接OD,OE.(2)如图2所示:过O作OFBC于点F,连接OD,OE.由等腰三角形三线合一的性质可知:DF=BF,由CD:BD=1:2可知CD=DF=FB,然后根据由三角是直角的四边形为矩形可知四边形OECF为矩形,于是得到CF=EO,从而可证明ODB为等边三角形,然后依据特殊锐角三角函数值可求得BC=,故此可求得CD=

(1)证明:连接OE.

OE=OB

∴∠OEB=OBE

ACO相切,

OEAC,即OEA=90°

∴∠C=OEA=90°,

OEBC

∴∠OEB=EBC

∴∠OBE=EBC

BE平分ABC

(2)如图2所示:过O作OFBC于点F,连接OD,OE.

OD=OB,OFBD

DF=BF

CD:BD=1:2,

CD=DF=FB

∵∠OEC=C=OFC=90°

四边形OECF为矩形.

CF=EO

OE=BD=OD=OB

∴△ODB为等边三角形.

∴∠ABC=60°

AC=4

BC=

CD=×BC=

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