题目内容
【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,O为AB上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆,交BC边于点D,与AC边相切于点E.
(1)求证:BE平分∠ABC;
(2)若CD:BD=1:2,AC=4,求CD的长.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)由切线的性质可知OE⊥AC,从而可证明OE∥BC,由平行线的性质可知∠OEB=∠EBC,由OE=OB可知∠OEB=∠OBE,于是得到∠OBE=∠EBC;
(2)过O作OF⊥BC于点F,连接OD,OE.(2)如图2所示:过O作OF⊥BC于点F,连接OD,OE.由等腰三角形三线合一的性质可知:DF=BF,由CD:BD=1:2可知CD=DF=FB,然后根据由三角是直角的四边形为矩形可知四边形OECF为矩形,于是得到CF=EO,从而可证明△ODB为等边三角形,然后依据特殊锐角三角函数值可求得BC=,故此可求得CD=.
(1)证明:连接OE.
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠OBE.
∵AC与⊙O相切,
∴OE⊥AC,即∠OEA=90°.
∴∠C=∠OEA=90°,
∴OE∥BC.
∴∠OEB=∠EBC.
∴∠OBE=∠EBC.
∴BE平分∠ABC.
(2)如图2所示:过O作OF⊥BC于点F,连接OD,OE.
∵OD=OB,OF⊥BD,
∴DF=BF.
∵CD:BD=1:2,
∴CD=DF=FB.
∵∠OEC=∠C=∠OFC=90°,
∴四边形OECF为矩形.
∴CF=EO.
∴OE=BD=OD=OB.
∴△ODB为等边三角形.
∴∠ABC=60°.
∵AC=4,
∴BC=.
∴CD=×BC=.
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