Question

在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=6．过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求△BDE的周长；
（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BP=DQ．

Answer 1

分析：（1）因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB，然后利用平行四边形的判定及性质就可以求出△BDE的周长；
（2）容易证明△DOQ≌△BOP，再利用它们对应边相等就可以了．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=3
∴OB=

AB2-OA2

=4，BD=2OB=8，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=BC=5，DE=AC=6，
∴△BDE的周长是：BD+BC+CE+DE=8+10+6=24．

（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠QDO=∠PBO，
∵在△DOQ和△BOP中

∠QDO=∠PBO OB=OD ∠QOD=∠POB

，
∴△DOQ≌△BOP（ASA），
∴BP=DQ．

点评：本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决，也考查了全等三角形的判定及性质．