题目内容
在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．
（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；
（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．
【答案】分析：（1）由AD：AB=1：1可以得出四边形ABCD是正方形，由其性质就可以得出△ABF≌△ADE，从而得出AF=AE，得出△AEF的形状；
（2）根据条件可以得出△ABF∽△ADE，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）如图3，当△AEG是等边三角形时，由勾股定理就可以表示出AG、AE、FG，BG的值建立方程求出k值，就可以求出DE的长度．
解答：解：（1）△AEF为等腰直角三角形
理由：如图1，∵AD：AB=1：1，
∴AD=AB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAE=∠BAD，
∴∠FAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE，
即∠BAF=∠DAE．
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴△AEF为等腰直角三角形；
（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAE=∠BAD，
∴△ABF∽△ADE，
∴
．
∵
，
∴
，
即AF=2AE；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∵△AEG是等边三角形，
∴AE=AG，∠GAE=∠AEG=60°．
∴∠FAG=∠DAE=∠AFE=30°，
∴AG=FG．
∵AB=3，AD：AB=k，
∴AD=3k．
在Rt△ADE中由勾股定理，得
DE=
k，AE=2
k，
∴AG=FG=2
k，
∴BG=
k．
∵AB=3，
∴GB=3-2
k，
∴
k=3-2
k，
解得：k=
，
∴DE=1．
答：k=
，DE=1．
点评：本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，解答时运用勾股定理表示线段的长度是本题的难点．
（2）根据条件可以得出△ABF∽△ADE，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）如图3，当△AEG是等边三角形时，由勾股定理就可以表示出AG、AE、FG，BG的值建立方程求出k值，就可以求出DE的长度．
解答：解：（1）△AEF为等腰直角三角形
理由：如图1，∵AD：AB=1：1，
∴AD=AB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAE=∠BAD，
∴∠FAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE，
即∠BAF=∠DAE．
在△ABF和△DAE中，
，∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴△AEF为等腰直角三角形；
（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAE=∠BAD，
∴△ABF∽△ADE，
∴
．∵
，∴
，即AF=2AE；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∵△AEG是等边三角形，
∴AE=AG，∠GAE=∠AEG=60°．
∴∠FAG=∠DAE=∠AFE=30°，
∴AG=FG．
∵AB=3，AD：AB=k，
∴AD=3k．
在Rt△ADE中由勾股定理，得
DE=
k，AE=2k，∴AG=FG=2
k，∴BG=
k．∵AB=3，
∴GB=3-2
k，∴
k=3-2k，解得：k=
，∴DE=1．
答：k=
，DE=1．点评：本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，解答时运用勾股定理表示线段的长度是本题的难点．
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