Question

阅读并填空：
（1）方程x²+2x+1=0的根为x₁=

 

，x₂=

 

，x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

；
（2）方程x²-2x-3=0的根为x₁=

 

，x₂=

 

，x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

；
（3）方程3x²+2x-5=0的根为x₁=

 

，x₂=

 

，x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

；
（4）由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？
（5）利用你的猜想解决问题：已知方程2x²+3x-5=0的两根为x₁、x₂，求

1

x1

+

1

x2

的值．

Answer 1

分析：（1）、（2）、（3）利用因式分解法求解方程的两根，再根据方程的两根可求出x₁+x₂，x₁x₂的值；
（4）可以先设方程的两根是x₁、x₂，那么就有x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；
（5）先利用根与系数的关系求出x₁+x₂，x₁•x₂的值，根据

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1+x2

，然后整体代入通分后的式子求值即可．

解答：解：
（1）∵x²+2x+1=0，∴（x+1）²=0，解得x₁=x₂=-1，∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=1；
（2）∵x²-2x-3=0，∴（x-3）（x+1）=0，解得x₁=3，x₂=-1，∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-3；
（3）∵3x²+2x-5=0，∴（x-1）（3x+5）=0，解得x₁=1，x₂=-

5

3

，∴x₁+x₂=-

2

3

，x₁x₂=-

5

3

；
（4）设ax²+bx+c=0（a≠0，且a、b、c是常数）的两根为x₁、x₂，则x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

；
（5）解：∵x1+x2=-

3

2

，x1x2=-

5

2

∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

3

2

÷(-

5

2

)=

3

5

．

点评：一元二次方程的两个根x₁、x₂具有这样的关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．