Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H．点G在⊙O上，过点G作直线EF，交CD延长线于点E，交AB的延长线于点F．连接AG交CD于K，且KE＝GE．

（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC∥EF，，FB＝1，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）相切，理由见解析；（2）4.

试题分析：（1）求出∠OGA=∠OAG，∠AKH+∠OAG=90°，∠KGE=∠GKE=∠AKH，推出∠KGE+∠OGA=∠AKH+∠OAG=90°，得出∠OGE=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出∠F=∠CAH，∠OGF=∠CHA=90°，推出Rt△AHC∽Rt△FGO，得出，根据
求出，得出方程，解出即可．
试题解析：（1）如图，连接OG．
∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG.
∵CD⊥AB，∴∠AKH＋∠OAG＝90°．
∵KE＝GE，
∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH.
∴∠KGE＋∠OGA＝∠AKH＋∠OAG＝90°.
∴∠OGE＝90°，即OG⊥EF.
又∵G在圆O上，∴EF与圆O相切．

（2）∵AC∥EF， ∴∠F＝∠CAH，
∴Rt△AHC∽ Rt△FGO． ∴.
∵在Rt△OAH中，，设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t．
∴.  ∴.
∵FB＝1 ∴，解得：OG＝4．
∴圆O的半径为4 .