题目内容

如图1,抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q,与x轴交于A(-1,0)、B(5,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标;
(2)在该抛物线的对称轴上求一点P,使得△PAC的周长最小,请在图中画出点P的位置,并求点P的坐标;
(3)如图2,若点D是第一象限抛物线上的一个动点,过D作DE⊥x轴,垂足为E.
①有一个同学说:“在第一象限抛物线上的所有点中,抛物线的顶点Q与x轴相距最远,所以当点D运动至点Q时,折线D-E-O的长度最长”,这个同学的说法正确吗?请说明理由.
②若DE与直线BC交于点F.试探究:四边形DCEB能否为平行四边形?若能,请直接写出点D的坐标;若不能,请简要说明理由.

(1)y-(x-2)2+9,Q(2,9);(2)(2,3);(3)

解析试题分析:(1)将A(-1,0)、B(5,0)分别代入y=-x2+bx+c中即可确定b、c的值,然后配方后即可确定其顶点坐标;
(2)连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.求得C点的坐标后然后确定直线BC的解析式,最后求得其与x=2与直线BC的交点坐标即为点P的坐标;
(3)①设D(t,-t2+4t+5),设折线D-E-O的长度为L,求得L的最大值后与当点D与Q重合时L=9+2=11<相比较即可得到答案;
②假设四边形DCEB为平行四边形,则可得到EF=DF,CF=BF.然后根据DE∥y轴求得DF,得到DF>EF,这与EF=DF相矛盾,从而否定是平行四边形.
(1)将A(-1,0)、B(5,0)分别代入y=-x2+bx+c中,得
,解得
∴y=-x2+4x+5.
∵y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,
∴Q(2,9).

(2)如图1,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.
∵AC长为定值,∴要使△PAC的周长最小,只需PA+PC最小.
∵点A关于对称轴x=2的对称点是点B(5,0),抛物线y=-x2+4x+5与y轴交点C的坐标为(0,5).
∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小.
设直线BC的解析式为y=kx+5,将B(5,0)代入5k+5=0,得k=-1,
∴y=-x+5,
∴当x=2时,y=3,
∴点P的坐标为(2,3).
(3)①这个同学的说法不正确.
∵设D(t,-t2+4t+5),设折线D-E-O的长度为L,则L=?t2+4t+5+t=?t2+5t+5=?(t?)2+
∵a<0,
∴当t=时,L最大值=
而当点D与Q重合时,L=9+2=11<
∴该该同学的说法不正确.
②四边形DCEB不能为平行四边形.
如图2,若四边形DCEB为平行四边形,则EF=DF,CF=BF.
∵DE∥y轴,
,即OE=BE=2.5.
当xF=2.5时,yF=-2.5+5=2.5,即EF=2.5;
当xD=2.5时,yD=?(2.5?2)2+9=8.75,即DE=8.75.
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25>2.5.即DF>EF,这与EF=DF相矛盾,
∴四边形DCEB不能为平行四边形.
考点:二次函数综合题.

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