Question

如图，四边形ABDC中，AD平分∠BAC，DB=DC，
（1）判断点D到AB与AC的距离关系？并用一句话叙述理由；
（2）试说明△ABC是等腰三角形．

Answer 1

解：（1）点D到AB与AC的距离相等．
理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等．

（2）作DM⊥AB交AB延长线于M，DN⊥AC交AC延长线于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∵DB=DC，
∴Rt△BMD≌Rt△NDC（HL），
∴BM=CN，
∵AD=AD，DM=DN，
∴△AMD≌△AND（HL），
∴AM=AN，
∴AB=AC．
分析：（1）点D到AB与AC的距离相等．理由是角平分线上的点到角两边的距离相等．
（2）作DM⊥AB交AB延长线于M，DN⊥AC交AC延长线于N，根据角平分线的性质可证DM=DN，根据HL可证出Rt△BMD≌Rt△NDC，得BM=CN，根据HL再证出△AMD≌△AND得AM=AN，即证AB=AC．
点评：本题重点考查了三角形全等的判定及性质、等腰三角形的判定；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．注意角平分线的性质运用非常广泛．