Question

（1）已知△PMN中，PR为角平分线，Q为PR上一点，且∠MQR=∠NQR，求证：PM=PN；
（2）若把（1）中“PR为角平分线”换为“高线”，其它条件不变，结论“PM=PN”还会成立吗？为什么？

Answer 1

证明：（1）∵∠MQP=180°-∠MQR，
∠NQP=180°-∠NQR，
且∠MQR=∠NQR．
∴∠MQP=∠NQP．
∵PR平分∠MPN，
∴∠MPQ=∠NPQ．
在△PQM和△OQN中，
∴△PQM≌△OQN．
∴PM=PN．

（2）结论“PM=PN”还成立．
理由如下：
∵PR为△ABC的高，
∴∠QRM=∠QRN=90°．
在△QRM和△QRN中，
，
∴△QRM≌△QRN．
∴△PRM≌△PRN．
∴PM=PN．
分析：（1）由已知得两角相等，加上公共边，通过ASA证明△PQM≌△OQN来求得PM=PN；
（2）通过证明△PRM≌△PRN可知道结论“PM=PN”还会成立．
点评：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：AAS、SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．