题目内容

如图，矩形ABCO的对角线AC、OB交于点A₁，直线AC的解析式为 $数学公式$ ，过点A₁作A₁O₁⊥OC于O₁，过点A₁作A₁B₁⊥BC于B₁，得到第二个矩形A₁B₁CO₁，A₁C、O₁B₁交于点A₂，过点A₂作A₂O₂⊥OC于O₂，过点A₂作A₂B₂⊥BC于B₂，得到第三个矩形A₂B₂CO₂，…，依此类推，这样作的第n个矩形对角线交点A_n的坐标为________．

（（ $\text{[math]}$ ）^n-1 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ）^n-1）
分析：根据矩形的性质，以及相似三角形的判定方法，可以证得：△A_nCO_n∽△ACO，相似比是（ $\text{[math]}$ ）ⁿ．即可求得AnOn，OO_n的长，从而求得点A_n的坐标．
解答：在 $\text{[math]}$ 中，令x=0解得：y=2；
令y=0，解得：x=-2 $\text{[math]}$ ，
则OC=2 $\text{[math]}$ ，OA=2．
∵A1是矩形ABCO的对角线的交点，OA1∥OA，
∴△A1CO1∽△ACO，相似比是 $\text{[math]}$ ；
同理，△A₂CO₂∽△A₁CO₁，相似比是 $\text{[math]}$ ；
则△A₂CO₂∽△ACO，相似比是 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²，
同理：△A_nCO_n∽△ACO，相似比是（ $\text{[math]}$ ）ⁿ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）ⁿ．
∴AnOn=（ $\text{[math]}$ ）ⁿ•OA=（ $\text{[math]}$ ）ⁿ×2=（ $\text{[math]}$ ）^n-1．
OC_n=（ $\text{[math]}$ ）ⁿ×OC=（ $\text{[math]}$ ）n×2 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）^n-1 $\text{[math]}$ ，OO_n=2 $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ ）^n-1 $\text{[math]}$ ，
则点A_n的坐标为（（ $\text{[math]}$ ）^n-1 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ）^n-1）
点评：本题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，正确理解：△A_nCO_n∽△ACO，相似比是（ $\text{[math]}$ ）ⁿ是关键．