题目内容

(2012•扬州)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可.
(2)由图知:A、B点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知:若连接BC,那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点.
(3)由于△MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC;可先设出M点的坐标,然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长,再按上面的三种情况列式求解.
解答:解:(1)将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得:
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=3

解得:
a=-1
b=2
c=3

∴抛物线的解析式:y=-x2+2x+3.

(2)连接BC,直线BC与直线l的交点为P;
∵点A、B关于直线l对称,
∴PA=PB,
∴BC=PC+PB=PC+PA
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将B(3,0),C(0,3)代入上式,得:
3k+b=0
b=3
,解得:
k=-1
b=3

∴直线BC的函数关系式y=-x+3;
当x=1时,y=2,即P的坐标(1,2).

(3)抛物线的对称轴为:x=-
b
2a
=1,设M(1,m),已知A(-1,0)、C(0,3),则:
MA2=m2+4,MC2=(3-m)2+1=m2-6m+10,AC2=10;
①若MA=MC,则MA2=MC2,得:
m2+4=m2-6m+10,得:m=1;
②若MA=AC,则MA2=AC2,得:
m2+4=10,得:m=±
6

③若MC=AC,则MC2=AC2,得:
m2-6m+10=10,得:m1=0,m2=6;
当m=6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去;
综上可知,符合条件的M点,且坐标为 M(1,
6
)(1,-
6
)(1,1)(1,0).
点评:该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识,在判定等腰三角形时,一定要根据不同的腰和底分类进行讨论,以免漏解.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网