题目内容
(2012•济南)如图1,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3,0),B(-1,0),与y轴相交于点C,⊙O1为△ABC的外接圆,交抛物线于另一点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径;
(3)如图2,抛物线的顶点为P,连接BP,CP,BD,M为弦BD中点,若点N在坐标平面内,满足△BMN∽△BPC,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径;
(3)如图2,抛物线的顶点为P,连接BP,CP,BD,M为弦BD中点,若点N在坐标平面内,满足△BMN∽△BPC,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.
分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)如答图1所示,由△AOC为等腰直角三角形,确定∠CAB=45°,从而求出其三角函数值;由圆周角定理,确定△BO1C为等腰直角三角形,从而求出半径的长度;
(3)如答图2所示,首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标,进而求出点M的坐标和线段BM的长度;点B、P、C的坐标已知,求出线段BP、BC、PC的长度;然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系,求出线段BN和MN的长度;最后利用两点间的距离公式,列出方程组,求出点N的坐标.
(2)如答图1所示,由△AOC为等腰直角三角形,确定∠CAB=45°,从而求出其三角函数值;由圆周角定理,确定△BO1C为等腰直角三角形,从而求出半径的长度;
(3)如答图2所示,首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标,进而求出点M的坐标和线段BM的长度;点B、P、C的坐标已知,求出线段BP、BC、PC的长度;然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系,求出线段BN和MN的长度;最后利用两点间的距离公式,列出方程组,求出点N的坐标.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3,0),B(-1,0),
∴
,
解得a=1,b=4,
∴抛物线的解析式为:y=x2+4x+3.
(2)由(1)知,抛物线解析式为:y=x2+4x+3,
∵令x=0,得y=3,
∴C(0,3),
∴OC=OA=3,则△AOC为等腰直角三角形,
∴∠CAB=45°,
∴cos∠CAB=
.
在Rt△BOC中,由勾股定理得:BC=
=
.
如答图1所示,连接O1B、O1C,
由圆周角定理得:∠BO1C=2∠BAC=90°,
∴△BO1C为等腰直角三角形,
∴⊙O1的半径O1B=
BC=
.
(3)抛物线y=x2+4x+3=(x+2)2-1,
∴顶点P坐标为(-2,-1),对称轴为x=-2.
又∵A(-3,0),B(-1,0),可知点A、B关于对称轴x=-2对称.
如答图2所示,由圆及抛物线的对称性可知:点D、点C(0,3)关于对称轴对称,
∴D(-4,3).
又∵点M为BD中点,B(-1,0),
∴M(-
,
),
∴BM=
=
;
在△BPC中,B(-1,0),P(-2,-1),C(0,3),
由两点间的距离公式得:BP=
,BC=
,PC=2
.
∵△BMN∽△BPC,
∴
=
=
,即
=
=
,
解得:BN=
,MN=3
.
设N(x,y),由两点间的距离公式可得:
,
解之得,
,
,
∴点N的坐标为(
,-
)或(
,-
).
∴
|
解得a=1,b=4,
∴抛物线的解析式为:y=x2+4x+3.
(2)由(1)知,抛物线解析式为:y=x2+4x+3,
∵令x=0,得y=3,
∴C(0,3),
∴OC=OA=3,则△AOC为等腰直角三角形,
∴∠CAB=45°,
∴cos∠CAB=
| ||
2 |
在Rt△BOC中,由勾股定理得:BC=
12+32 |
10 |
如答图1所示,连接O1B、O1C,
由圆周角定理得:∠BO1C=2∠BAC=90°,
∴△BO1C为等腰直角三角形,
∴⊙O1的半径O1B=
| ||
2 |
5 |
(3)抛物线y=x2+4x+3=(x+2)2-1,
∴顶点P坐标为(-2,-1),对称轴为x=-2.
又∵A(-3,0),B(-1,0),可知点A、B关于对称轴x=-2对称.
如答图2所示,由圆及抛物线的对称性可知:点D、点C(0,3)关于对称轴对称,
∴D(-4,3).
又∵点M为BD中点,B(-1,0),
∴M(-
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3 |
2 |
∴BM=
[-
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3 |
2 |
2 |
在△BPC中,B(-1,0),P(-2,-1),C(0,3),
由两点间的距离公式得:BP=
2 |
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∵△BMN∽△BPC,
∴
BM |
BP |
BN |
BC |
MN |
PC |
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BN | ||
|
MN | ||
2
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解得:BN=
3 |
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设N(x,y),由两点间的距离公式可得:
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解之得,
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∴点N的坐标为(
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3 |
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点评:本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点,涉及的考点较多,试题难度较大.难点在于第(3)问,需要认真分析题意,确定符合条件的点N有两个,并画出草图;然后寻找线段之间的数量关系,最终正确求得点N的坐标.
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