Question

（2012•济南）如图，已知双曲线y=

k

x

经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；
（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．

解答：解：（1）∵双曲线y=

k

x

经过点D（6，1），
∴

k

6

=1，
解得k=6；

（2）设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，
∴BD=6，
∴S_△BCD=

1

2

×6•h=12，
解得h=4，
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，
∴点C的纵坐标为1-4=-3，
∴

6

x

=-3，
解得x=-2，
∴点C的坐标为（-2，-3），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则

-2k+b=-3 6k+b=1

，
解得

k= 1 2 b=-2

，
所以，直线CD的解析式为y=

1

2

x-2；

（3）AB∥CD．
理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，设点C的坐标为（c，

6

c

），点D的坐标为（6，1），
∴点A、B的坐标分别为A（c，0），B（0，1），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则

mc+n=0 n=1

，
解得

m=- 1 c n=1

，
所以，直线AB的解析式为y=-

1

c

x+1，
设直线CD的解析式为y=ex+f，
则

ec+f= 6 c 6e+f=1

，
解得

e=- 1 c f= c+6 c

，
∴直线CD的解析式为y=-

1

c

x+

c+6

c

，
∵AB、CD的解析式k都等于-

1

c

，
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD．

点评：本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，三角形的面积的求解，待定系数法是求函数解析式最常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．