题目内容

如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的对角线AC=12,tan∠ACO=

(1)求B、C两点的坐标;
(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处,DE与AC相交于点F,求直线DE的解析式;
(3)若点M在直线DE上,平面内是否存在点N,使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)C的坐标是:(6,0),B的坐标是(6,6)。
(2)直线DE的解析式是:y=x﹣6。
(3)N的坐标是:(3,)或(﹣3,)或(,3)。

试题分析:(1)根据三角函数求得OA以及OC的长度,则C、B的坐标即可得到。
解:在直角△OAC中,
∴设OA=x,则OC=3x,
根据勾股定理得:(3x)2+(x)2=AC2,即9x2+3x2=144,解得:x=2
∴C的坐标是:(6,0),B的坐标是(6,6)。
(2)直线DE是AC的中垂线,应用待定系数法以及锐角三角函数定义即可求得DE的解析式。
解:∵F是AC的中点,∴根据对折的性质,F的坐标是(3,3)。
设D(d,0),则根据对折的性质,E(,6)。
如图,过点E作EH⊥OC于点H,则HE=6,DH=

易证∠DEH=∠ACO,
,∴
,解得
∴D(,0)
设直线DE的解析式是y=" k" x+b,将点D、F的坐标代入,得
,解得
∴直线DE的解析式是:y=x﹣6。
(3)分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论,利用三角函数即可求得N的坐标:
OF=AC=6。

30°。∴DE与x轴夹角是60°。
当FM是菱形的边时(如图),ON∥FM,

则∠NOC=60°或120°。
当∠NOC=60°时,过N作NG⊥y轴,
∴NG=ON•sin30°=6×=3,OG=ON•cos30°=6×=
∴N的坐标是(3,)。
当∠NOC=120°时,与当∠NOC=60°时关于原点对称,则N的坐标是(﹣3,)。
当OF是对角线时(如图),MN关于OF对称。

∵F的坐标是(,3),∴∠FOD=∠NOF=30°。
在Rt△ONH中,OH=OF=3,
作NL⊥y轴于点L,
在Rt△ONL中,∠NOL=30°,
∴NL=ON=,OL=ON•cos30°=2×=3。
∴N的坐标是(,3)。
综上所述,N的坐标是:(3,)或(﹣3,)或(,3)。
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