Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y=

k

x

的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正确的结论是

 

．（把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

分析：此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥EF，可从①问的面积相等入手；△DFE中，以DF为底，OF为高，可得S_△DFE=

1

2

|x_D|•|y_D|=

1

2

k，同理可求得△CEF的面积也是

1

2

k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．

解答：解：设点D的坐标为（x，

k

x

），则F（x，0）．
由函数的图象可知：x＞0，k＞0．
∴S_△DFE=

1

2

DF•OF=

1

2

|x_D|•|

k

xD

|=

1

2

k，
同理可得S_△CEF=

1

2

k，
故S_△DEF=S_△CEF．
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．
①由上面的解题过程可知：①正确；
②∵CD∥EF，即AB∥EF，∴△AOB∽△FOE，故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴S_△DEF=S_△BED，
同理可得S_△ACF=S_△ECF；
由①得：S_△DBE=S_△ACF．
又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等，
∴BD=AC，④正确；
法2：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，
而且EF是公共边，
即AC=EF=BD，
∴BD=AC，④正确；
因此正确的结论有3个：①②④．

点评：此题通过反比例函数的性质来证图形的面积相等，根据面积相等来证线段的平行或相等，设计巧妙，难度较大．