Question

如图，在△BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，四边形ABCD是正方形，连接DF，G为DF的中点，连接EG、CG．证明：EG=CG，EG⊥CG．

Answer 1

证明：取BF中点H，连接EH，GH，连接BD，取BD中点O，连接OG，OC，
∵CB=CD，∠DCB=90°，
∴CO=BD，
∵DG=GF，
∴GH∥BD，GH=BD，
∴OG∥BF，OG=BF，
∴OC=GH，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴EH=BF，
∴EH=OG，
∴四边形OBHG是平行四边形，
∴∠BOG=∠BHG，
∵∠BOC=∠BHE=90°，
∴∠GOC=∠EHG，
在△GOC和△EHG中
∵，
∴△GOC≌△EHG（SAS），
∴EG=CG，∠EGH=∠GCO，
∴∠EGC=∠EGH+∠HGO+∠CGO，
=∠CGO+∠GCO+∠GOD，
=180°-∠DOC，
=180°-90°，
=90°，
∴EG⊥CE，即EG=CG．EG⊥CG．
分析：取BF中点H，连接EH，GH，连接BD，取BD中点O，连接OG，OC，根据等腰直角三角形性质求出CO=BD，CO⊥BD，根据三角形的中位线得出GH∥BD，GH=BD，OG∥BF，OG=BF，推出OC=GH，根据等腰直角三角形性质得出EH=BF，推出四边形OBHG是平行四边形，求出∠GOC=∠EHG，证△GOC≌△EHG，推出EG=CG，∠EGH=∠GCO，求出∠EGC的度数即可．
点评：本题综合考查了平行四边形性质和判定，三角形的内角和定理，直角三角形斜边上中线，正方形性质，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，难度较大．