题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分 
．
（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；
（2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，
则MA=MB=MC=ME=2，
又∵CO⊥MB，
∴MO=BO=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），
抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），
设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）
把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，
解得：a= 
，
故二次函数解析式为：y= （x+1）2﹣2；
（2）
证明：
连接DM，
∵△MBC为等边三角形，
∴∠CMB=60°，
∴∠AMC=120°，
∵点D平分弧AC，
∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，
∵MD=MC=MA，
∴△MCD，△MDA是等边三角形，
∴DC=CM=MA=AD，
∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；
（3）
解：存在．
理由如下：
设点P的坐标为（m，n）
∵S△ABP= AB|n|，AB=4
∴ ×4×|n|=5，
即2|n|=5，
解得：n=± 
，
当 
时， （m+1）2﹣2= ，
解此方程得：m1=2，m2=﹣4
即点P的坐标为（2， ），（﹣4， ），
当n=﹣ 时， （m+1）2﹣2=﹣ ，
此方程无解，
故所求点P坐标为（2， ），（﹣4， ）．
【解析】此题主要考查了二次函数综合以及菱形的判定方法、三角形面积求法和等边三角形的性质等知识，正确得出E点坐标是解题关键．（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；（3）首先表示出△ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标．
