题目内容
已知二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴交于A(-1,0)、B两点,其顶点为M.(Ⅰ)根据图象,解不等式ax2-2ax+c>0;
(Ⅱ)若点D(-3,6)在二次函数的图象上,试问:线段OB上是否存在N点,使得∠ADB=∠BMN?若存在,求出N点坐标;若不存在,说明理由.
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_ST/images0.png)
【答案】分析:(Ⅰ)根据图象确定出二次函数的对称轴,再根据二次函数的对称性求出点B的坐标,然后找出函数图象在x轴上方的x的取值范围即可;
(Ⅱ)根据点A、D的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式,根据函数解析式求出顶点M的坐标,存在N(t,0)(0≤t≤3),过点D作DE⊥x轴于点E,设对称轴与x轴的交点为F,根据点D、B、M的坐标求出∠DBA=∠MBN=45°,再结合∠ADB=∠BMN证明△ADB和△NMB相似,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.
解答:解:(Ⅰ)∵函数y=ax2-2ax+c图象的对称轴为直线x=1,
∴A、B两点关于直线x=1对称,
又∵A点的坐标为(-1,0),
∴B点的坐标为(3,0),
由图可知,二次函数开口向上,a>0,
所以,不等式ax2-2ax+c>0的解集为x<-1或x>3;
(Ⅱ)存在点N(
,0),使得∠ADB=∠BMN.
理由如下:∵A(-1,0)、D(-3,6)都在此函数图象上,
∴
,
解得
,
∴此二次函数的解析式为:y=
x2-x-
=
(x-1)2-2,![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_DA/images6.png)
函数图象的顶点为M(1,-2),
假设线段OB上存在N(t,0)(0≤t≤3)点,使得∠ADB=∠BMN,
过D作DE⊥x轴于E,设对称轴与x轴相交于点F,
∵D(-3,6),B(3,0),M(1,-2),
∴DE=6,BE=OB+OE=6,MF=2,BF=3-1=2,
∴△DEB、△BMF为等腰直角三角形,∠DBA=∠MBN=45°,
又∵∠ADB=∠BMN,
∴△ADB∽△NMB,
∴
=
,
即
=
,
解得t=
,
所以,线段OB上存在点N(
,0),使得∠ADB=∠BMN.
点评:本题是对二次函数的综合考查,主要利用了二次函数的对称性,利用函数图象求不等式的解集,待定系数法求二次函数解析式,以及相似三角形的判定与性质,(Ⅱ)中根据数据的特殊性求出△DEB、△BMF为等腰直角三角形,从而得到∠DBA=∠MBN=45°是解题的关键.
(Ⅱ)根据点A、D的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式,根据函数解析式求出顶点M的坐标,存在N(t,0)(0≤t≤3),过点D作DE⊥x轴于点E,设对称轴与x轴的交点为F,根据点D、B、M的坐标求出∠DBA=∠MBN=45°,再结合∠ADB=∠BMN证明△ADB和△NMB相似,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.
解答:解:(Ⅰ)∵函数y=ax2-2ax+c图象的对称轴为直线x=1,
∴A、B两点关于直线x=1对称,
又∵A点的坐标为(-1,0),
∴B点的坐标为(3,0),
由图可知,二次函数开口向上,a>0,
所以,不等式ax2-2ax+c>0的解集为x<-1或x>3;
(Ⅱ)存在点N(
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_DA/0.png)
理由如下:∵A(-1,0)、D(-3,6)都在此函数图象上,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_DA/1.png)
解得
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_DA/2.png)
∴此二次函数的解析式为:y=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_DA/3.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_DA/4.png)
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![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_DA/images6.png)
函数图象的顶点为M(1,-2),
假设线段OB上存在N(t,0)(0≤t≤3)点,使得∠ADB=∠BMN,
过D作DE⊥x轴于E,设对称轴与x轴相交于点F,
∵D(-3,6),B(3,0),M(1,-2),
∴DE=6,BE=OB+OE=6,MF=2,BF=3-1=2,
∴△DEB、△BMF为等腰直角三角形,∠DBA=∠MBN=45°,
又∵∠ADB=∠BMN,
∴△ADB∽△NMB,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_DA/6.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_DA/7.png)
即
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_DA/8.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_DA/9.png)
解得t=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_DA/10.png)
所以,线段OB上存在点N(
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185846464829131/SYS201311011858464648291014_DA/11.png)
点评:本题是对二次函数的综合考查,主要利用了二次函数的对称性,利用函数图象求不等式的解集,待定系数法求二次函数解析式,以及相似三角形的判定与性质,(Ⅱ)中根据数据的特殊性求出△DEB、△BMF为等腰直角三角形,从而得到∠DBA=∠MBN=45°是解题的关键.
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练习册系列答案
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已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0,a,b,c为常数),对称轴为直线x=1,它的部分自变量与函数值y的对应值如下表,写出方程ax2+bx+c=0的一个正数解的近似值________(精确到0.1).
x | -0.1 | -0.2 | -0.3 | -0.4 |
y=ax2+bx+c | -0.58 | -0.12 | 0.38 | 0.92 |