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精英家教网如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.D是AC上一点,且AD=2CD,CE⊥BD于H交AB于E.F是AB的中点,BD、CF交于点G,连接EG.下列结论:①BG=CE;②四边形AEGC为等腰梯形;③HG=2HD;④BE=3AE.其中正确的结论有(  )
A、4个B、3个C、2个D、1个
分析:由点F是AB中点,AC=BC,∠ACB=90°,CF⊥AB,∠FCB=∠BAC=45°,在△ACE中∥∥,∠CEA=90°+∠ECF,在△BGC中∠CGB=90°+∠ECF,∠CEA=∠CGB,又AC=BC,所以△AEC≌△BCG即得证①;由AE=CG,作FM∥AC,则AD=2CD,所以FG=GC,得AE=CG,AE=EF,又得EG∥AC,所以四边形AEGC为等腰梯形(②得证)所以
EG
AC
=
1
2
=
EG
3CD
EG
CD
=
3
2
,得
EG
CD
=
HG
HD
=
3
2
③是错误的;由
AE
BE
=
AE
AF+AE
=
AE
3AE
=
1
3
(④得证).
解答:精英家教网解:∵点F是AB中点,AC=BC,∠ACB=90°
∴CF⊥AB,∠FCB=∠BAC=45°
在△ACE中,∠CEA=90°+∠ECF,在△BGC中∠CGB=90°+∠ECF
∴∠CEA=∠CGB
又∵AC=BC
∴△AEC≌△BCG
∴AE=CG,BG=CE(①得证)
由AE=CG,
作FM∥AC
∵AD=2CD,
∴FG=GC,
∴AE=CG,AE=EF,
∴EG∥AC
∴四边形AEGC为等腰梯形(②得证)
EG
AC
=
1
2
=
EG
3CD
EG
CD
=
3
2

EG
CD
=
HG
HD
=
3
2

∴③是错误的.
AE
BE
=
AE
AF+AE
=
AE
3AE
=
1
3
(④得证)
故选B.
点评:本题考查了等腰直角三角形,综合考查了平行线的与线段的巧妙结合,本题思路性很强.
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