Question

【题目】如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

（Ⅰ）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（Ⅱ）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（Ⅲ）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+2x+6，
∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ （x﹣2）2+8，
∴D（2，8）；
（Ⅱ）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x，﹣ x2+2x+6），则FG=|﹣ x2+2x+6|，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴ = ，
∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，
∴BG=6﹣x，
∴ = ，
当点F在x轴上方时，有 = ，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1， ）；
当点F在x轴下方时，有 =﹣ ，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，﹣ ）；
综上可知F点的坐标为（﹣1， ）或（﹣3，﹣ ）；
（Ⅲ）如图2，设对称轴MN、PQ交于点O′，

∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），
∵点M在抛物线y=﹣ x2+2x+6的图象上，
∴n=﹣ （2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+ 或n=﹣1﹣ ，
∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2 ）或（2，﹣2﹣2 ）．
【解析】（Ⅰ）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；
（Ⅱ）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
（Ⅲ）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．