Question

【题目】如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，AC与PB相交于点E．有以下结论：①∠ACP=15°；②△APE是等腰三角形；③AE2=PEAB；④△APC的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，则S1：S2=1：4．其中正确的是 （把正确的序号填在横线上）．

Answer 1

【答案】①②③．

【解析】

试题解析：∵△PBC是等边三角形，

∴∠PCB=60°，PC=BC，∠PCB=60°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=AB，∠ABC=90°，

∴∠ACB=45°，

∴∠ACP=60°-45°=15°，∴①正确；

∵∠ABC=90°，∠PBC=60°，

∴∠ABP=90°-60°=30°，

∵BC=PB，BC=AB，

∴PB=AB，

∴∠BPA=∠PAB=（180°-30°）=75°，

∵∠ABP=30°，∠BAC=45°，

∴∠AEP=45°+30°=75°=∠BPA，

∴AP=AE，

∴△APE为等腰三角形，∴②正确；

∵∠APB=∠APB，∠AEP=∠PAB=75°，

∴△PAE∽△ABP，

∴，

∴AP2=PEAB，

∴AE2=PEAB；∴③正确；

连接PD，过D作DG⊥PC于G，过P作PF⊥AD于F，

设正方形的边长为2a，则S2=4a2，等边三角形PBC的边长为2a，高为a，

∴PF=2a-a=（2-）a，

∴S△APD=ADPF=（2-）a2，

∴∠PCD=90°-60°=30°，

∴GD=CD=a，

∴S△PCD=PCDG=a2，S△ACD=2a2，

∴S1=S△ACD-S△ADP-S△PCD=2a2-a2-（2-）a2=（-1）a2＜a2，

∴S1：S2≠1：4．

∴④错误；

故答案为：①②③．