题目内容
如图.已知一次函数y=x-2的图象与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,以线段AB为边作正方形ABCD如图所示.(1)求线段AB的长;
(2)求点D的坐标;
(3)若点P(-1,m)是平面直角坐标系中的一点,且△PAB的面积等于正方形面积的
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分析:(1)根据题意将一次函数y=x-2的x、y分别等于0,即可求得A、B两点的坐标;
(2)过D作DE⊥x轴交x轴与E点,根据正方形的性质便可求得D点坐标;
(3)先求出P点坐标,然后将P、B、D三点坐标代入二次函数解析式y=ax2+bx+c,即可求得二次函数解析式.
(2)过D作DE⊥x轴交x轴与E点,根据正方形的性质便可求得D点坐标;
(3)先求出P点坐标,然后将P、B、D三点坐标代入二次函数解析式y=ax2+bx+c,即可求得二次函数解析式.
解答:解:(1)一次函数y=x-2的图象与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,
当y=0时,x=2,当x=0时,y=-2;
故A、B两点的坐标为A(2,0),B(0,-2),
AB=
=2
;
(2)过D作DE⊥x轴交x轴于E点,
正方形ABCD的边长AB=2
,
AD=AB,故D点的纵坐标与B点一样应为-2,
AE=OA=2,∴OE=OA+AE=4,故D点的横坐标为4,
故D点坐标为D(4,-2);
(3)S□ABCD=2
×2
=8,S△PAB=
S□ABCD=4,
故AB边上的高应为2
,
①如图2,过点P作PH⊥AB于H,AB交x=-1于点M,
∵直线AB为:y=x-2,
∴∠PMA=45°,
∵PH=2
,
∴PM=
PH=4,
∴P点坐标为P(-1,1),
设经过P、B、D三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
将P、B、D三点坐标代入二次函数解析式可得
,
解得
,
故二次函数的解析式为y=
x2-
x-2.
②如图2,过点P′作P′H′⊥AB延长线于点H′.
同理求得P′(-1,-7).则过P、B、D三点的二次函数的解析式为y=-x2+4x-2.
综上所述,符合条件的抛物线的解析式是:y=
x2-
x-2或y=-x2+4x-2.
当y=0时,x=2,当x=0时,y=-2;
故A、B两点的坐标为A(2,0),B(0,-2),
AB=
OA2+OB2 |
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(2)过D作DE⊥x轴交x轴于E点,
正方形ABCD的边长AB=2
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AD=AB,故D点的纵坐标与B点一样应为-2,
AE=OA=2,∴OE=OA+AE=4,故D点的横坐标为4,
故D点坐标为D(4,-2);
(3)S□ABCD=2
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故AB边上的高应为2
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①如图2,过点P作PH⊥AB于H,AB交x=-1于点M,
∵直线AB为:y=x-2,
∴∠PMA=45°,
∵PH=2
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∴PM=
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∴P点坐标为P(-1,1),
设经过P、B、D三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
将P、B、D三点坐标代入二次函数解析式可得
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解得
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故二次函数的解析式为y=
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②如图2,过点P′作P′H′⊥AB延长线于点H′.
同理求得P′(-1,-7).则过P、B、D三点的二次函数的解析式为y=-x2+4x-2.
综上所述,符合条件的抛物线的解析式是:y=
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点评:本题主要考查了一次函数的综合题,题中涉及用待定系数法求二次函数的解析式等知识点,解答要注意数形结合思想的运用,是各地中考的热点,同学们要加强训练,属于中档题.
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