Question

【题目】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点．

（1）若∠ABC＝∠ADC，∠BAE＝30°，AD＝3，求AE的长；

（2）若∠EAF＝∠BAD，求证：BE+DF＝EF．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据已知条件得到∠ABC=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质即可得到结论；

（2）延长CB到G，使BG=DF，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG=AF，∠GAB=∠FAD，证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证明．

（1）解：∵AB＝AD，AD＝3，

∴AB＝3，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADC＝90°，

∵∠BAE＝30°，

∴AE=AB＝；

（2）证明：延长CB到G，使BG＝DF，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，

∴∠ADC＝∠ABG，

在△ABG和△ADF中，，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠FAD+∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝∠BAD，

∴∠GAE＝∠FAE，

在△AEG和△AEF中，，

∴△AEG≌△AEF（SAS），

∴EF＝GE，

∴EF＝BE+BG＝BE+DF．