题目内容

阅读材料：∵ax²+bx+c=0（a≠0）有两根为x1=

-b+

b2-4ac

2a

．x2=

-b-

b2-4ac

2a

．∴x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1•x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

．综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．利用此知识解决：已知x₁，x₂是方程x²-x-1=0的两根，不解方程求下列式子的值：
①x₁²+x₂²；
②（x₁+1）（x₂+1）．

分析：根据根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=1，然后变形①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，②（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+x₁+x₂+1，再分别利用整体思想计算即可．

解答：解：根据题意得x₁+x₂=1，x₁•x₂=1，
①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=1²-2×1=-1；
②（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+x₁+x₂+1=1+1+1=3．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．

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阅读材料：∵ax²+bx=c=0（a≠0）有两根为x1=

．
综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有x₁+x₂=-

利用此知识解决：是否存在实数m，使关于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的两根平方和等于2？若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，说明理由．

阅读材料：∵ax²+bx+c=0（a≠0）有两根为x1=

．综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有x1+x2=-

．利用此知识解决：
（1）已知x₁，x₂是方程x²-x-1=0的两根，不解方程求下列式子的值：①x₁²+x₂²；②（x₁+1）（x₂+1）；
（2）是否存在实数m，使关于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的两根平方和等于2？若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，说明理由．

阅读材料：∵ax²+bx+c=0（a≠0）有两根为 $数学公式$ ． $数学公式$ ．∴ $数学公式$ ， $数学公式$ ．综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有 $数学公式$ ， $数学公式$ ．利用此知识解决：已知x₁，x₂是方程x²-x-1=0的两根，不解方程求下列式子的值：
①x₁²+x₂²；　　　　　　　　
②（x₁+1）（x₂+1）．

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．综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有

．利用此知识解决：
（1）已知x₁，x₂是方程x²-x-1=0的两根，不解方程求下列式子的值：①x₁²+x₂²；②（x₁+1）（x₂+1）；
（2）是否存在实数m，使关于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的两根平方和等于2？若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，说明理由．