题目内容
【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=
x+
．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，
始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，（NA+
NB）的最小值．
【答案】（1）抛物线的函数关系式为：y=﹣
x2﹣
x+
，C（1，0）；（2）当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；(3). 存在，理由见解析；（NA+
NB）的最小值为
.
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件得到B（0，），A（﹣6，0），解方程组得到抛物线的函数关系式为：y=﹣x2﹣x+，于是得到C（1，0）；（2）由点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D（m， m+），当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=GD=
ED，GM=OB=，列方程即可得到结论；（3）i：根据已知条件得到ON=OM′=4，OB=，由∠NOP=∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到
=
，于是得到结论；ii：根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由（i）知，
=，得到NP=NB，于是得到（NA+NB）的最小值=NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论．
试题解析：
（1）在y=x+中，令x=0，则y=，令y=0，则x=﹣6，∴B（0，），A（﹣6，0），
把B（0，），A（﹣6，0）代入y=ax2+bx﹣a﹣b得
，
∴
，∴抛物线的函数关系式为：y=﹣x2﹣x+，
令y=0，则=﹣x2﹣x+=0，∴x1=﹣6，x2=1，∴C（1，0）；
（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，
∴D（m， m+），当DE为底时，
作BG⊥DE于G，则EG=GD=
ED，GM=OB=，
∴m++（﹣m2﹣++m+）=，
解得：m1=﹣4，m2=9（不合题意，舍去），
∴当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；
（3）i：存在，
∵ON=OM′=4，OB=，∠NOP=∠BON，
∴当△NOP∽△BON时，
=，
∴
不变，即OP=
=3，∴P（0，3）
ii：∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由（i）知，
=，
∴NP=NB，∴（NA+NB）的最小值=NA+NP，∴此时N，A，P三点共线，
∴（NA+NB）的最小值=,
