题目内容
已知:如图AC∥BD,AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E.求证:(1)AE⊥BE; (2)AB=AC+BD.
分析:(1)首先证明∠CAB+∠DBA=180°,再利用角平分线的性质证明∠EAB=
∠CAB,∠EBA=
∠DBA,可得到∠EAB+∠EBA=90°,进而可证出AE⊥BE;
(2)首先在AB上截取AF=AC,连接EF,证明△CAE≌△FAE,可证出∠CEA=∠FEA,可得到∠FEB=∠DEB,再证明△DEB≌△FEB,可得到BD=BF,即可证出AB=AC+BD.
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(2)首先在AB上截取AF=AC,连接EF,证明△CAE≌△FAE,可证出∠CEA=∠FEA,可得到∠FEB=∠DEB,再证明△DEB≌△FEB,可得到BD=BF,即可证出AB=AC+BD.
解答:证明:(1)∵AC∥BD,
∴∠CAB+∠DBA=180°(1分)
又∵AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA,
∴∠EAB=
∠CAB,∠EBA=
∠DBA,
∴∠EAB+∠EBA=
(∠CAB+∠DBA)=90°,
∴AE⊥BE (4分)
(2)在AB上截取AF=AC,连接EF,
在△CAE和△FAE中
,
∴△CAE≌△FAE,
则∠CEA=∠FEA,(8分)
又∠CEA+∠BED=∠FEA+∠FEB=90°,
∴∠FEB=∠DEB,
∵BE平分∠DBA,
∴∠DBE=∠FBE,
在△DEB和△FEB中
,
∴△DEB≌△FEB(ASA),(10分)
∴BD=BF,又∵AF=AC,
∴AB=AF+FB=AC+BD. (12分)
∴∠CAB+∠DBA=180°(1分)
又∵AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA,
∴∠EAB=
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∴∠EAB+∠EBA=
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∴AE⊥BE (4分)
(2)在AB上截取AF=AC,连接EF,
在△CAE和△FAE中
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∴△CAE≌△FAE,
则∠CEA=∠FEA,(8分)
又∠CEA+∠BED=∠FEA+∠FEB=90°,
∴∠FEB=∠DEB,
∵BE平分∠DBA,
∴∠DBE=∠FBE,
在△DEB和△FEB中
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∴△DEB≌△FEB(ASA),(10分)
∴BD=BF,又∵AF=AC,
∴AB=AF+FB=AC+BD. (12分)
点评:此题主要考查了垂直,角平分线,以及三角形全等的判定和性质,证明三角形全等是证明线段和角相等的重要手段.
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