Question

若x₁和x₂分别是一元二次方程2x²+7x-4=0的两根．
（1）求|x₁-x₂|的值；  （2）x₁³+x₂³．

Answer 1

分析：（1）先利用根与系数的关系得到两根之和及两根之差，再对要求的代数式变形，把数值代入求解即可；
（2）利用立方和公式把代数式因式分解，再变形．再利用根与系数的关系即可求解．

解答：解：（1）∵x₁和x₂分别是一元二次方程2x²+7x-4=0的两根．
∴x₁+x₂=-

b

a

=-

7

2

，x₁•x₂=

c

a

=-2，
∵|x₁-x₂|=

(x1+x2)  2-4x 1•x 2

=

9

2

（2）∵x₁³+x₂³=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）
=（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]
∵x₁+x₂=-

b

a

=-

7

2

，x₁•x₂=

c

a

=-2，
∴原式=-

511

8

．

点评：本题考查了根与系数的关系，常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x₁²+x₂²等等．