题目内容

（Ⅰ）如图1，点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于点R，T．求证：PQ•PR=PS•PT；
（Ⅱ）如图2，图3，当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQ•PR=PS•PT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；
（Ⅲ）如图4，ABCD为正方形，A，E，F，G四点在同一条直线上，并且AE=6cm，EF=4cm，试以（Ⅰ）所得结论为依据，求线段FG的长度．

（Ⅰ）证明：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD
∴∠1=∠2，∠Q=∠4．
∴△PBQ∽△PDT．
∴ $\text{[math]}$ ．
∵AD∥BS，
∴∠3=∠6，∠S=∠5．
∴△PBS∽△PDR．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴PQ•PR=PS•PT．

（Ⅱ）解：PQ•PR=PS•PT仍然成立．
理由如下：
在△PQB中，

∵DT∥BQ，
∴ $\text{[math]}$ ．
在△PBS中，
∵DR∥BS，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
∴PQ•PR=PS•PT．

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）的结论可得，AE²=EF•EG，
∴6²=4EG，
∴EG=9．
∴FG=EG-EF=9-4=5（cm）．
所以，线段FG的长是5cm．
分析：（1）本题要通过相似三角形来求解．已知了四边形ABCD是平行四边形，那么CD∥AB，可根据相似三角形DTP和BPA得出 $\text{[math]}$ ，同理可在相似三角形RPD和SPB中得出类似的结论，将中间值替换即可得出本题所求的结论．
（2）图2，3同（1）完全一样．均是通过两组不同的相似三角形来得出两组对应线段成比例，然后将相等的项进行替换即可得出所证的结论．
（3）根据（1）的结论可知：AE²=EF•EG，据此可求出EG的长，进而可求出FG的值．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质．通过相似三角形得出与所求相关的线段对应成比例是解题的关键．