Question

27、如图，已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
（1）如图，若点O在边BC上，试说明AB=AC；
（2）若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC．

Answer 1

分析：（1）先利用斜边直角边定理证明△OEB和△OFC全等，根据全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，再根据等角对等边的性质即可得到AB=AC；
（2）过O作OE⊥AB，OF⊥AC，与（1）的证明思路基本相同．

解答：证明：（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，
由题意知，OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等），
∴AB=AC（等角对等边）；

（2）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，
由题意知，OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
∵OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠OBE=∠OCF，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠OCF+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的判定与性质，等角对等边的性质，熟练掌握性质作出辅助线是解题的关键．