Question

钢材是一种不会燃烧的建筑材料，它具有抗震，抗弯等特性．在实际应用中，钢材可以相对增加建筑物的荷载能力，满足建筑设计美感造型的需要，避免混凝土等建筑材料不能弯曲，拉伸的缺陷，因此钢材受到了建筑行业的青睐．重庆某钢材有限公司在去年3月至6月份销售甲、乙两种型号的钢材，已知甲种钢材每个月的售价y₁（百元/吨）与月份x之间的关系可用下表表示：

时间x（月）	3	4	5	6
售价y1（百元/吨）	72	54	43.2	36

甲种钢材的进价为30百元/吨，甲种钢材的销量P与月份x的关系式为P=300x；乙种钢材每个月的售价y₂（百元/吨）与月份x之间的关系满足二次函数y₂=ax²+x+c，已知乙种钢材的售价从3月的56百元/吨降至4月的53.5百元/吨，乙种钢材的进价为35百元/吨，乙种钢材3至6月平均每月的销量为1600吨．
（1）请观察题中的表格，用我们所学过的一次函数、反比例函数或者二次函数写出y₁与x之间的函数关系式；并求出y₂与x的函数关系式；
（2）已知该公司每个月在销售钢材时每吨需支出2百元的物流费用，问该公司销售甲、乙两种钢材哪个月获得的总利润最大，最大利润是多少百元？
（3）在去年7月至今年3月这9个月中，若每个月需固定支出甲、乙两种钢材的仓储成本各600百元，甲、乙两种钢材的进价每吨均比去年6月上涨1百元，每吨支出的物流费用变为2.5百元．该公司将甲、乙两种钢材的售价均在去年6月的基础上提高了p%，与此同时甲种钢材每月的销售量均在去年6月的基础上减少了0.5p%，乙种钢材每月的销售量均为1500吨，这样一来，该公司完成了去年7月至今年3月总利润459000百元的销售任务，请你参考以下数据，估算出p的值（精确到0.1）．（ 92.1²=8482.41，92.2²=8500.84，92.3²=8519.29，92.4²=8537.79）

Answer 1

分析：（1）根据时间与售价的乘积相同，都是216可知y₁与x成反比例关系，根据3月份，4月份的售价，利用待定系数法求二次函数解析式求解y₂与x的关系式即可；
（2）设总利润为W百元，甲的利润为每月的售价减去进价与物流费，然后乘以销售量P，乙的利润为每月的售价减去进价与物流费然后乘以销售量16000吨，然后把甲、乙的利润相加，整理后根据二次函数解析式求出自变量3≤x≤6时的最大值即可；
（3）先求出甲、乙去年6月份的售价，再表示出今年3到9月份甲、乙两种钢材平均每月的利润之和，整理后解一元二次方程即可．

解答：解：（1）∵3×72=216，4×54=216，5×43.2=216，6×36=216，
∴y₁与x成反比例函数关系，关系式为y₁=

216

x

（3≤x≤6，x为整数）；
把x=3时，y=56，x=4时，y=53.5代入y₂=ax²+x+c得，

9a+3+c=56 16a+4+c=53.5

，
解得

a=- 1 2 c= 115 2

，
所以，y₂与x的函数关系式为y₂=-

1

2

x²+x+

115

2

（3≤x≤6）；

（2）设总利润为W百元，则W=（y₁-30-2）P+（y₂-35-2）×1600，
=（

216

x

-32）×300x+（-

1

2

x²+x+

115

2

-37）×1600，
=-800x²-8000x+97600，
对称轴为直线x=-

-8000

2×(-800)

=-5，
∵a=-800＜0，
∴x＞-5时，y随x的增大而减小，
∴x=3时，W_最大=-800×3²-8000×3+97600=-7200-24000+97600=-31200+97600=66400，
即，该公司销售甲、乙两种钢材3月获得的总利润最大，最大利润是66400百元；

（3）去年6月时，x=6，y₁=36，P=300×6=1800，y₂=-

1

2

×6²+6+

115

2

=45.5，
所以，[36（1+p%）-30-1-2.5]×1800×（1-0.5p%）+[45.5（1+p%）-35-1-2.5]×1500-600×2=459000÷7，
整理得，27（p%）²-109•p%+31=0，
△=109²-4×27×31=8533，
p%=

109± 8533

2×27

，
∴p%=

109+92.4

2×27

=3.729（舍去），p%=

109-92.4

2×27

=0.307，
所以，p的值约为30.7．

点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，反比例函数关系，利用二次函数的增减性解决最值问题，一元二次方程的解法，题目数量关系较为复杂，运算量较大，仔细阅读，理清利润的表达式的列出与变化关系，列出相应的计算式是解题的关键．