题目内容
如图,AC是⊙O的直径,四边形ABCD是平行四边形,AD,BC分别交⊙O于点F,E,连接AE,CF.
(1)试判断四边形AECF是哪种特殊的四边形,并说明理由;
(2)若AB与⊙O相切于点A,且⊙O的半径为5cm,弦CE的长为8cm,求AB的长.
(1)试判断四边形AECF是哪种特殊的四边形,并说明理由;
(2)若AB与⊙O相切于点A,且⊙O的半径为5cm,弦CE的长为8cm,求AB的长.
考点:切线的性质,平行四边形的性质,圆周角定理
专题:
分析:(1)根据圆周角定理得到∠AEC=∠AFC=90°,再根据平行四边形的性质得AF∥EC,所以∠EAC=∠AEC=90°,于是可判断四边形AECF是矩形;
(2)根据切线的性质得∠BAC=90°,再证明Rt△CAE∽Rt△CBA,利用CA:CB=CE:CA可计算出BC,然后根据勾股定理可计算出AB.
(2)根据切线的性质得∠BAC=90°,再证明Rt△CAE∽Rt△CBA,利用CA:CB=CE:CA可计算出BC,然后根据勾股定理可计算出AB.
解答:解:(1)四边形AECF是矩形.理由如下:
∵AC是⊙O的直径,
∴∠AEC=∠AFC=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AF∥EC,
∴∠EAC=∠AEC=90°,
∴四边形AECF是矩形
(2)∵AB与⊙O相切于点A,
∴∠BAC=90°,
∵∠ACE=∠BCA,
∴Rt△CAE∽Rt△CBA,
∴CA:CB=CE:CA,即10:CB=8:10,
∴BC=
,
在Rt△ABC中,AB=
=
.
∵AC是⊙O的直径,
∴∠AEC=∠AFC=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AF∥EC,
∴∠EAC=∠AEC=90°,
∴四边形AECF是矩形
(2)∵AB与⊙O相切于点A,
∴∠BAC=90°,
∵∠ACE=∠BCA,
∴Rt△CAE∽Rt△CBA,
∴CA:CB=CE:CA,即10:CB=8:10,
∴BC=
25 |
2 |
在Rt△ABC中,AB=
BC2-AC2 |
15 |
2 |
点评:本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理、平行四边形的性质以及三角形相似的判定与性质.
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