Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．

（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；

（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）直线l与⊙O相切；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）连接OE、OB、OC．由题意可证明，于是得到∠BOE=∠COE，由等腰三角形三线合一的性质可证明OE⊥BC，于是可证明OE⊥l，故此可证明直线l与⊙O相切；

（2）先由角平分线的定义可知∠ABF=∠CBF，然后再证明∠CBE=∠BAF，于是可得到∠EBF=∠EFB，最后依据等角对等边证明BE=EF即可；

（3）先求得BE的长，然后证明△BED∽△AEB，由相似三角形的性质可求得AE的长，于是可得到AF的长．

试题解析：（1）直线l与⊙O相切．

理由：如图1所示：连接OE、OB、OC．

∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴，∴∠BOE=∠COE．

又∵OB=OC，∴OE⊥BC．

∵l∥BC，∴OE⊥l，∴直线l与⊙O相切．

（2）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．

又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．

又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，∴∠EBF=∠EFB，∴BE=EF．

（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，∴△BED∽△AEB，∴，即，解得；AE=，∴AF=AE﹣EF=﹣7=．