Question

已知：如图，△ABC中，AB＝3，∠BAC＝120°，AC＝1，D为AB延长线上一点，BD＝1，点P在∠BAC的平分线上，且满足△PAD是等边三角形．

【小题1】求证：BC＝BP；
【小题2】求点C到BP的距离．

Answer 1

【小题1】证明：如图，连结PC．

∵AC＝1，BD＝1， ∴AC＝BD．
∵∠BAC＝120°，AP平分∠BAC，

∵△PAD是等边三角形，
∴PA＝PD，∠D＝60°．
∴∠1＝∠D．
∴△PAC≌△PDB．
∴PC＝PB，∠2＝∠3．
∴∠2＋∠4＝∠3＋∠4，∠BPC＝∠DPA＝60°．
∴△PBC是等边三角形，BC＝BP．
证法二：作BM∥PA交PD于M，证明△PBM≌△BCA．
【小题2】解法一：如图，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．

∵AB＝3，BD＝1， ∴AD＝4．
∵△PAD是等边三角形，PF⊥AB，


∴BF＝DF－BD＝1，

   
即点C到BP的距离等于
解法二：作BN⊥DP于N，

以下同解法一．

解析