Question

【题目】如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一个数，与从个位到最高位依次排出的一个数完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”，例如，，，都是“和谐数”．请你解答以下问题：

（）设一个四位“和谐数”个位上的数字，十位上的数字为，请你用含有、的代数式表示出这个四位数．

（）请说明任意一个四位“和谐数”都能被整除．

Answer 1

【答案】(1) 1000x+100y+10y+x；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据“和谐数”的定义，结合四位数的表示法写出即可；

（2）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：，根据和谐数的定义得到a=d，b=c，则=91a+10b为正整数，易证得任意四位“和谐数”都可以被11整除；

（1）设一个四位“和谐数”个位上的数字x，十位上的数字为y，根据“和谐数”的定义得，

这个和谐数为：1000x+100y+10y+x.

（2）任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：

设任意四位“和谐数”形式为：，则满足：

最高位到个位排列：a，b，c，d．

个位到最高位排列：d，c，b，a．

由题意，可得两组数据相同，则：a=d，b=c，

则 =91a+10b为正整数．

∴四位“和谐数”能被11整数，

又∵a，b，c，d为任意自然数，

∴任意四位“和谐数”都可以被11整除；