Question

如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．

(1)求证：DE与⊙O相切；

(2)若⊙O的半径为，DE＝3，求AE的长．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)欲证“DE与⊙O相切”，因为点E在⊙O上，如果结论成立，则点E肯定是切点，所以只需连接OE，证明OE⊥ED即可；(2)利用△ABE∽△ACB可求AE的长． 　　解：(1)连接OE、BE， 　　因为AB是直径， 　　所以BE⊥AC． 　　因为D是BC的中点， 　　所以DE＝DB． 　　所以∠DBE＝∠DEB． 　　又OE＝OB，∠OBE＝∠OEB， 　　所以∠DBE＋∠OBE＝∠DEB＋∠OEB， 　　即∠ABD＝∠OED． 　　又∠ABC＝90°，所以∠OED＝90°． 　　所以DE是⊙O的切线． 　　(2)因为DE＝3，所以BC＝2DE＝6． 　　所以AC＝＝＝4． 　　又△ABE∽△ACB，所以＝． 　　所以AE＝＝＝． 　　点评：证明切线时，条件中给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理进行证明．口诀是“连半径，证垂直．切线判断很简单，认真审题是关键”．