Question

请解决下列问题：
（1）如图甲，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB是⊙O₁的弦，分别以A、B为端点过P作射线交⊙O₂于A′、B′，图中是否存在相似三角形？请给予说明；
（2）如图乙，相交于C、P两点，AB是⊙O₁的弦，分别以A、B为端点过P作射线交⊙O₂于A′、B′，图中是否存在分别以AB、A′B′为一边的两个相似三角形？请给予说明．

Answer 1

解：（1）存在，△ABP∽△A′B′P．
理由如下：过点P作两圆的内公切线MN，
则∠MPA=∠B，∠NPA′=∠B′
而∠MPA=∠NPA′
∴∠B=∠B′
又∠APB=∠A′PB
∴△ABP∽△A′B′P；

（2）存在，△ABC∽△A′B′C′．
理由如下：连接CP，
∵四边形ABCP是圆内接四边形
∴∠CPA′=∠ABC
∵∠CPA′=∠CB′A′
∴∠ABC=∠A′B′C′
同理可求得∠BAC=∠B′A′C′
∴△ABC∽△A′B′C′．
分析：（1）两圆外切时，通常做两圆的公切线，用弦切角做等量值，得出∠B=∠B′或∠A=∠A′，即可求出所得的相似三角形；
（2）同①的思路类似，连接两圆的交点，用圆内接四边形的性质和圆周角定理，可得出∠ABC=∠A′BC，∠BAC=∠B′A′C′，据此可找出要求的相似三角形．
点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系、圆周角定理、弦切角定理、圆的内接四边形等知识．两圆相切时，常作两圆的公切线；两圆相交时，常连接两圆的交点，作出两圆的公共弦．