Question

（2013•永安市质检）在一张长方形ABCD纸张中，AB=25cm，AD=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题?（1）如图1，折痕为DE，点A的对应点F在CD上，则折痕DE的长为

20

2

cm；
（2）如图2，H、G分别为BC、AD的中点，点A的对应点F在HG上，折痕为DE，求重叠部分（△DEF）的面积；
（3）如图3，在图2中，把长方形ABCD沿着HG剪开，变成两张长方形纸片，将这两张纸按图形位置任意叠合后，发现重叠部分都是菱形，显然，这些菱形中周长最短是40cm．是否存在叠后周长最大的菱形？若存在，请求出叠合后周长最大的菱形的周长和面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据图形折叠的性质可知AD=AE=20cm，再根据勾股定理即可得出结论；
（2）由折叠的性质可得到DG=

1

2

AD=

1

2

DE，再根据直角三角形的性质得出∠EDA=30°，由锐角三角函数的定义得到AE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）设GK=x，则HK=25-x，利用勾股定理即可求出x的值，进而可得出菱形的周长求出其面积．

解答：解：（1）∵四边形ADFE是正方形，
∴DE=

AD2+AE2

=

202+202

=20

2

（cm）；
故答案为：20

2

；

（2）由折叠的性质可知，AD=DF，
∵GH分别是AD、BC的中点，
∴GD=

1

2

AD=

1

2

DF
∴在Rt△DGE中，∠GFD=30°，∠GDF=60°，
∵∠GDE=∠EDF，
∴∠EDA=30°．
∴在Rt△ADE中，tan∠EDA=

AE

AD

，
∴AE=AD•tan30°=

20 3

3

∴S_△DEF=

1

2

AE•AD=

1

2

×20×

20 3

3

=

200 3

3

；

（3）最大的菱形如图所示：
设GK=x，则HK=25-x，
x²=（25-x）²+10²，
解得x=

29

2

，
则菱形的周长为58cm，
此时菱形的面积S=

29

2

×10=145．

点评：本题考查的是图形的翻折变换、菱形及矩形的性质、三角形的面积公式，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．