Question

如图所示，已知A（

1

2

，y₁），B（2，y₂）为反比例函数y=

1

x

图象上的两点，动点P（x，0）在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之和达到最小时，点P的坐标是

 

；当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）如图1，过x轴作点B的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为所求的点P．根据点A、B′的坐标可以求得直线AB′的 解析式，根据该解析式可以求得点P的坐标；
（2）如图2，求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．

解答：解：∵把A（

1

2

，y₁），B（2，y₂）代入反比例函数y=

1

x

得：y₁=2，y₂=

1

2

，
∴A（

1

2

，2），B（2，

1

2

）．
（1）如图1，过x轴作点B的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为所求的点P，则B′（2，-

1

2

）．
设直线AB′为y=kx+b（k≠0），则

2= 1 2 k+b - 1 2 =2k+b

．
解得

k=- 5 3 b= 17 6

．
故直线AB′的解析式为：y=-

5

3

x+

17

6

．
令y=0，
解得，x=1.7．
故P（1.7，0）；

（2）∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=ax+c（a≠0）
把A、B的坐标代入得：

2= 1 2 x+c 1 2 =2x+c

，
解得：

a=-1 c= 5 2

，
∴直线AB的解析式是y=-x+

5

2

，
当y=0时，x=

5

2

，
即P（

5

2

，0）；
故答案是：（1.7，0）；（

5

2

，0）．

点评：本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．