题目内容

【题目】如图1,在平面直角坐标系中,A(a,0),C(b,2),且满足(a+b)2+|a﹣b+4|=0,过C作CB⊥x轴于B.

(1)求三角形ABC的面积.
(2)若过B作BD∥AC交y轴于D,且AE,DE分别平分∠CAB,∠ODB,如图2,求∠AED的度数.

(3)在y轴上是否存在点P,使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:∵(a+b)2≥0,|a﹣b+4|≥0,(a+b)2+|a﹣b+4|=0

∴a=﹣b,a﹣b+4=0,

∴a=﹣2,b=2,

∵CB⊥AB

∴A(﹣2,0),B(2,0),C(2,2)

∴三角形ABC的面积= ×4×2=4


(2)解:∵CB∥y轴,BD∥AC,

∴∠CAB=∠ABD,

∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°,

过E作EF∥AC,

∵BD∥AC,

∴BD∥AC∥EF,

∵AE,DE分别平分∠CAB,∠ODB,

∴∠3=∠4=∠1,∠5=∠6=∠2,

∴∠AED=∠1+∠2= ×90°=45°


(3)解:存在.理由如下:

设P点坐标为(0,t),直线AC的解析式为y=kx+b,

把A(﹣2,0)、C(2,2)代入得 ,解得

∴直线AC的解析式为y= x+1,

∴G点坐标为(0,1),

∴SPAC=SAPG+SCPG= |t﹣1|2+ |t﹣1|2=4,解得t=3或﹣1,

∴P点坐标为(0,3)或(0,﹣1)


【解析】(1)根据非负数的性质得到a=﹣b,a﹣b+4=0,解得a=﹣2,b=2,则A(﹣2,0),B(2,0),C(2,2),即可计算出三角形ABC的面积=4;(2)由于CB∥y轴,BD∥AC,则∠CAB=∠ABD,即∠3+∠4+∠5+∠6=90°,过E作EF∥AC,则BD∥AC∥EF,然后利用角平分线的定义可得到∠3=∠4=∠1,∠5=∠6=∠2,所以∠AED=∠1+∠2= ×90°=45°;(3)先根据待点系数法确定直线AC的解析式为y= x+1,则G点坐标为(0,1),然后利用SPAC=SAPG+SCPG进行计算.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的判定与性质的相关知识,掌握由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质,以及对三角形的面积的理解,了解三角形的面积=1/2×底×高.

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