Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．

（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；

（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；

（3）如果AG＝8，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）求出AC＝3，可得∠DAC＝∠FBC，则tan∠FBC＝tan∠DAC＝；

（2）由条件可得∠AGF＝∠CBF，可得，可用x表示CF和AF的长，求出CD，则S△DAF＝，可用x表示结果；

（3）分两种情况，①当点D在BC的延长线上时，②当点D在BC的边上时，可求出AE长AD的长，则DE＝AD﹣AE可求出．

解：

（1）∵∠ACB＝90，BC＝4，sin∠ABC＝，

∴设AC＝3x，AB＝5x，

∴（3x）2+16＝（5x）2，

∴x＝1，

即AC＝3，

∵BE⊥AD，

∴∠AEF＝90，

∵∠AFE＝∠CFB，

∴∠DAC＝∠FBC，

∴tan∠FBC＝tan∠DAC＝；

（2）∵AG∥BD，

∴∠AGF＝∠CBF，

∴tan∠AGF＝tan∠CBF，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵∠EAF＝∠CBF，

∴，

∴，

∴S△DAF＝；

（3）①当点D在BC的延长线上时，如图1，

∵AG＝8，BC＝4，AG∥BD，

∴，

∴AF＝2CF，

∵AC＝3，

∴AF＝2，CF＝1，

∴，

∴，

设AE＝x，GE＝4x，

∴x2+16x2＝82，

解得x＝，

即AE＝，

同理tan∠DAC＝tan∠CBF，

∴，

∴DC＝，

∴AD＝，

∴，

②当点D在BC的边上时，如图2，

∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，

∴，

∴AF＝6，

∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，

∴cos∠EAF＝cos∠ABC，

∴，

∴，

同理，

∴，

∴，

∴DE＝AE﹣AD＝，

综合以上可得DE的长为或；