Question

如图，某中学校园有一块长为35m，宽为16m的长方形空地，其中有一面已经铺设长为26m的篱笆围墙，学校设计在这片空地上，利用这面围墙和用尽已有的可制作50m长的篱笆材料，围成一个矩形花园或围成一个半圆花园，请回答以下问题：
（1）能否围成面积为300m²的矩形花园？若能，请写出其中一种设计方案，若不能，请说明理由．
（2）若围成一个半圆花园，则该如何设计？请写出你的设计方案．（π取3.14）
（3）围成的各种设计中，最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）首先表示出矩形的长与宽，利用矩形面积得出等式，进而解方程得出；
（2）利用已知得出设新增加am，则半圆弧长为：π×

26+a

2

，进而得出a的值，即可得出答案；
（3）利用二次函数最值求法得出矩形最值再利用半圆面积公式得出半圆面积，进而比较即可．

解答：解：（1）设垂直于已经铺设长为26m的篱笆围墙的一边为xm，则平行于原篱笆的长为（50-2x）m，
根据题意得出：x（50-2x）=300，
解得：x₁=10，x₂=15，
当x=10，则50-20=30＞26，故不合题意舍去，
∴能围成面积为300m²的矩形花园，此时长为20m，宽为15m；

（2）∵当r=13时，∴l_半圆=πr=3.14×13=40.82＜50，
∴半圆的直径应大于26m，设新增加am，则半圆弧长为：π×

26+a

2

，
∴a+π×

26+a

2

=50，
解得：a≈3.57，
∴半圆直径为：26+3.57=29.57（m），
∴半圆的半径为：14.79m；

（3）S₁=x（50-2x）=-2x²+50x，
当x=12.5时，S_最大=

-2500

4×(-2)

=312.5（m²），
S_半圆=

1

2

π×14.79²≈343.43（m²），
∴围成的各种设计中，最大面积是半圆面积为343.43m²．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数最值求法和半圆面积公式，利用已知注意用尽已有的可制作50m长的篱笆材料得出半圆半径是解题关键．